Dấu hiệu nhận biết hình thoi, Cách chứng minh và bài tập minh hoạ
Bài toán chứng minh hình thoi là một dạng toán xuất hiện trong các bài toán hình học. Để có thể chứng minh một hình là hình thoi, chúng ta cần phải nắm vững các dấu hiệu nhận biết của một hình thoi.Bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ đến bạn các dấu hiệu nhận biết hình thoi.
1. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Nếu tứ giác đó có các tính chất sau
Hình thoi có 4 dấu hiệu nhận biết, như sau:
|
⇒Thì ta kết luận được tứ giác đó là một hình thoi
2. Cách chứng minh hình thoi
Dựa trên dấu hiệu nhận biết của hình thoi như vừa đã nêu, chúng ta có thể rút ra cơ sở để chứng minh một hình thoi bất kỳ theo 2 cách
|
Theo một trong hai cách trên là chúng ta đã có thể chứng minh một hình thoi.
Ngoài ra chúng ta có thể chứng minh một hình thoi theo các cách như sau:
|
3. Bài tập có đáp án
Bài tập 1
Cho hình chữ nhật ABCD lấy E, F, G, H là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh các trung điểm của 4 cạnh trong hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Lời giải:
Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của cạnh MN, và MQ
=> EH là đường trung bình của tam giác ABD
=> EH = ½ BD (1)
Tương tự ta có: EF = 1/2AC, FG = ½ BD, HG = ½ AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3) => EH = EF = HG = GF
=> Tứ giác EFGH là hình thoi có 4 cạnh bằng với nhau.
Bài tập 2:
Cho tứ giác ABCD có BD= AC. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là một hình thoi.
Lời giải
Ta có E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC nên suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC
Vì G là trung điểm của DC, H là trung điểm của DA nên HG là đường trung bình của tam giác ADC
Từ (1) và (2) =>
=> Tứ giác EFGH là hình bình hành.
Ta lại có G là trung điểm của DC, F là trung điểm của BC nên GF là đường trung bình của tam giác BCD.
Mà BD = AC
Nên GF = EF
Từ đó nhận thấy hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi nên kết luận được tứ giác EFGH là hình thoi.
Bài tập 3:
Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân Các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Ta có: AB // CD (gt)
OE ⊥ AB (gt)
⇒ OE ⊥CD
OG ⊥CD(gt)
Suy ra OE trùng với OG nên ba điểm O,E,G thẳng hàng.
BC // AD (gt)
OF ⊥ BC (gt)
⇒ OF ⊥ AD
OH ⊥ AD (gt)
Suy ra OF trùng với OH nên ba điểm O,H,F thẳng hàng.
Vì AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi nên:
OE = OF ( t/chất tia phân giác) (1)
OE = OH ( t/chất tia phân giác) (2)
OH = OG ( t/chất tia phân giác) (3)
Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình chữ nhật.
Hy vọng với bài viết trên, chúng tôi đã cung cấp đến bạn những kiến thức cần thiết về dấu hiệu nhận biết hình thoi cũng như cách chứng minh. Chúc các bạn học tốt!
