Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành

Bạn đã biết cách chứng minh hình bình hành chưa? Trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn cách chứng minh tứ giác là hình bình hành một cách đầy đủ và chi tiết nhất nhé.

 

1. Điều kiện chứng minh tứ giác là hình bình hành

 

Điều kiện chứng minh tứ giác là hình bình hành đó là:

 

• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

•  

• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

•  

• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

•  

• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

•  

• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

 

2. Cách chứng minh khi có 2 cặp cạnh đối song song

 

Muốn chứng minh được một hình tứ giác là hình bình hành thì chúng ta cần chứng minh được tứ giác đó có hai cặp cạnh đối song song.

 

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD như hình dưới đây:

 

• Điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AB.

•  

• Điểm F là trung điểm của đoạn thẳng BC.

•  

• Điểm G là trung điểm của đoạn thẳng DC.

•  

• Điểm H là trung điểm của đoạn thẳng AD.

 

Các bạn hãy cho biết tứ giác EFGH là hình gì? Chứng minh điều đó?

 

 

 

Sau khi vẽ hình và nhìn vào hình vẽ, chúng ta có:

 

• EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên ta suy ra được EF // AC (dữ liệu 1)

•  

• HG là đường trung bình của tam giác ADC, nên ta suy ra được HG // AC (dữ liệu 2)

•  

• Từ hai dữ liệu 1 và 2 chúng ta có thể biết được rằng EF//HC

 

Tiếp theo chúng ta có:

 

• FG là đường trung bình của tam giác BDC, nên FG // BD (Dữ liệu 3)

•  

• EH là đường trung bình của tam giác BDA, nên EH // BD (dữ liệu 4)

•  

• Từ dữ liệu 3 và 4 chúng ta có thể biết được cạnh FG // EH.

 

Chúng ta xét tứ giác EFGH và thấy được rằng cạnh EF // HG và FG // EH.

 

Hình tứ giác EFGH là hình bình hành vì nó có hai cặp cạnh đối song song (điều phải chứng minh)

 

3. Chứng minh tứ giác là hình bình hành khi có 2 cặp cạnh đối bằng nhau

 

Để chứng minh được tứ giác đó là một hình bình hành thì chúng ta có thể chứng minh nó có các cạnh đối bằng nhau.

 

Ví dụ: Cho một tứ giác ABCD như hình dưới đây, trong đó có tam giác ABC = tam giác ADC. Bạn hãy chứng minh tứ giác ABCD chính là hình bình hành?

 

 

 

Vì đề bài đã cho và dựa theo hình vẽ, tam giác ABC = tam giác ADC nên:

 

AD=BC và AB=DC

 

Từ đây suy ra được rằng tứ giác ABCD chính là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau).

 

4. Chứng minh tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

 

Ví dụ: Hình bình hành ABCD có F là trung điểm của BC và E là trung điểm của AD. Hãy chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành?

 

 

 

Vì ABCD là hình bình hành nên chúng ta có AD//BC và AD=BC

 

Vì AD // BC nên ED // BF (dữ liệu 1)

 

Chúng ta lại có E là trung điểm của AD nên sẽ chia đoạn thẳng AD thành hai phần bằng nhau ED = EA và F là trung điểm của BC nên chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau FB = FC.

 

ABCD là hình bình hành nên chúng ta có ED=EA=FB=FC, suy ra ED = FB (dữ liệu 2)

 

Từ dữ liệu 1 và 2 chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác EBFD là hình bình hành( vì có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 

5. Chứng minh tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành

 

Để chứng minh hình bình hành chúng ta có thể tìm các góc đối bằng nhau

 

Ví dụ: Cho hình tứ giác ABCD có tam giác ABC = tam giác ADC, tam giác ADB = tam giác CDB. Hãy chứng minh tứ giác trên chính là hình bình hành?

 

 

 

Dựa theo đề bài đã cho chúng ta có:

 

Tam giác ABC= tam giác ADC nên góc B= góc D(1)

 

Tam giác ADB = tam giác CDB nên góc A= góc C(2)

 

Từ 1 và 2 chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD chính là hình bình hành vì nó có các góc đối bằng nhau.

 

6. Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm là hình bình hành

 

Ngoài những cách mà mình đã giới thiệu trên thì chúng ta còn một cách nữa đó chính là chứng minh được tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì tứ giác đó chính là hình bình hành

 

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Kẻ thêm đường AE vuông góc với BD và CF vuông góc với BD. Hãy chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình bình hành.

 

 

 

Áp dụng tính chất của hình bình hành chúng ta có AO=OC(1).

 

Xét tam giác vuông AOE và AOF có:

 

• Góc E= góc F= 90 độ vì góc AOE= góc AOF( hai đỉnh đối nhau)

•  

Từ đó suy ra được tam giác AOE= tam giác COF nên cạnh OE=OF(2)

 

Từ(1) và (2) ta kết luận được rằng tứ giác AECE là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 

7. Một số bài tập vận dụng

 

Ví dụ 1. Tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

 

Hướng dẫn:

 

 

 

 

Tứ giác MNPQ là hình bình hành. 

 

Giải thích: Thật vậy, từ giả thiết ta có MQ, NP thứ tự là các đường trung

 

bình của hai tam giác ABD và BCD. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác đó, ta được:

 

 

 

 

Tứ giác MNPQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

 

Ví dụ 2. Cho hình sau, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

 

Giải

 

 

Từ giả thiết  

 

 

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành ABCD và tính chất góc so le của AD//BC ta được:

 

 

(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).

 

Suy ra AH = CK.               (2)

 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

 

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở E, tia phân giác của góc C cắt AB ở F. Chứng minh rằng: Tứ giác AFCE là hình bình hành.

 

Giải

 

 

Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành ABCD, ta được AB//DC, suy ra AE//EC. (1) 

 

Áp dụng tính chất về góc, giả thiết vào hình bình hành ABCD và tính chất của các cặp góc so le, ta được: 

 

 

  (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). (2) 

 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFCE có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

 

Trên đây là những chia sẻ của mình về cách chứng minh hình bình hành và một số bài tập vận dụng. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của mình nhé.