[Toán 8] Bài 3: Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ (Soạn Bài)
“Để có thể dễ dàng nắm vững kiến thức trên lớp học, soạn toán 8 bài những hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây sẽ giúp bạn. Dưới đây là khái quát những lý thuyết và bài tập cơ bản trong bài học, hãy cùng theo dõi nhé.”
Lý thuyết về hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bình phương của một tổng:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Bình phương của một hiệu:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
- Hiệu hai bình phương:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
- Lập phương của một tổng:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- Lập phương của một hiệu:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
- Tổng hai lập phương:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
- Hiệu hai lập phương:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Một số hằng đẳng thức mở rộng
- Hằng đẳng thức bậc 2 mở rộng
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
( a - b + c )2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac
( a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2ac + 2ad + 2bd + 2cd
- Hằng đẳng thức bậc 3 mở rộng
( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( a + c )( b + c )
a3 + b3 + c3 – 3abc = ( a + b + c )( a3 + b3 + c3 – ab – ac – bc )
a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab( a + b )
a3 - b3 = ( a - b )3 + 3ab( a – b )
- Hằng đẳng thức bậc 4
( a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
- Hằng đẳng thức bậc 5
( a + b )5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 +b5
Trả lời các câu hỏi trong SGK Bài 3 (Toán 8)
Bài 16 (SGK 8/11): Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
Lời giải:
a) x2 + 2x + 1
= x2 + 2.x.1 + 12
= (x + 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1)
b) 9x2 + y2 + 6xy
= 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + y2
= (3x + y)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y)
c) 25a2 + 4b2 – 20ab
= 25a2 – 20ab + 4b2
= (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2
= (5a – 2b)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)
(Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = x và 
)
Bài 17 (SGK 8/11): Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a . a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752
Lời giải:
Ta có:
(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52
= 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
Đặt A = a.(a + 1). Khi đó ta có:
Do vậy, để tính bình phương của một số tự nhiên có dạng 
Áp dụng:
252 = (10.2 + 5)2 do đó a = 2 ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625. Vậy 252 = 625
352 = (10.3 + 5)2 do đó a = 3 ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225. Vậy 352 = 1225
652 = (10.6 + 5)2 do đó a = 6 ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225. Vậy 652 = 4225
752 = (10.7 + 5)2 do đó a = 7 ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625. Vậy 752 = 5625
Bài 18 (SGK 8/11): Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2
Lời giải:
a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1) với
A = x ;
2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
Vậy ta có hằng đẳng thức:
x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2
hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với :
B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y
2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.
Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
Bài 21 (SGK 8/12): Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 9x2 – 6x + 1.
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1.
Lời giải:
a) 9x2 – 6x + 1
= (3x)2 – 2.3x.1 + 12
= (3x – 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1)
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1
= (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12
= [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)
= (2x + 3y + 1)2
Bài 22 (SGK 8/12): Tính nhanh:
a) 1012 ; b) 1992 ; c) 47.53
Lời giải:
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201
b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.
Bài 23 (SGK 8/12): Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng:
a) Tính (a – b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12.
b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 và a.b = 3.
Lời giải:
Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
Ta có:
VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab
= a2 + (4ab – 2ab) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 = VT (đpcm)
+ Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Ta có:
VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab
= a2 + (2ab – 4ab) + b2
= a2 – 2ab + b2
= (a – b)2 = VT (đpcm)
+ Áp dụng, tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412
Hy vọng rằng với những ví dụ và các bài tập trên đây sẽ giúp cho bạn có một kiến thức nền vững chãi cho môn Toán nói chung và phần hằng đẳng thức nói riêng.
