Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu đầy đủ nhất

Mặt cầu là gì? Các công thức tính diện tích, thể tích của mặt cầu là gì? Hôm nay studytienganh sẽ cùng các bạn giải đáp những thắc mắc liên quan đến mặt cầu nhé!

 

1. Mặt cầu là gì?

Trong không gian, cho điểm I cố định và số thực dương R.

 

Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách I một khoảng: IM=R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. 

 

Kí hiệu: S(I;R)

 

Trong đó: S(I;R) = {M | IM=R}.

 

Mặt cầu

 

 Chú ý: 

• + Đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ cùng nằm trên một mặt cầu được gọi là dây cung của mặt cầu.

• + Dây cung đi qua tâm của mặt cầu gọi là đường kính của mặt cầu đó.

 

Cho mặt cầu S(I;R) và điểm A bất kỳ trong không gian:

 

• Nếu IA = R => điểm A nằm trên mặt cầu.

• Nếu IA < R => điểm A nằm trong mặt cầu.

• Nếu IA > R => điểm A nằm ngoài mặt cầu.

 

Tính chất

Nếu A nằm ngoài mặt cầu S(I;R) thì

 

• Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

• Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm tiếp tuyến đều bằng nhau.

• Tập hợp các tiếp điểm của A là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

 

2. Công thức tính diện tích và thể tích hình cầu

Diện tích mặt cầu bán kính R được tính theo công thức:

 

Công thức diện tích mặt cầu

 

Chứng minh công thức:

 

Mặt tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh trục Ox giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x);x=a;x=b;y=0 là: S=2abf1+f'2dx

 

Đặt d = 2R. Hình cầu bán kính R là hình tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox giới hạn bởi các đường: y=R2-x2; x=R;X=-R;y=0

 

Vậy suy ra: S=2RR(R2-x2)+(1+x2R2-x2)dxS=2RRRdx=4R2.

 

Thể tích hình cầu bán kính R có công thức là: 

 

 

Thể tích hình cầu

 

Chứng minh công thức:

 

Giả sử hình cầu có bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường y=R2-x2 (-RxR) và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox.

 

Vậy thể tích của hình cầu được tính theo công thức:

V=-RR(R2-x2)2dx

V=-RR(R2-x2)dx=(R2x-x33)=43R3

 

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cắt hình cầu tâm O bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn tâm K, đường kính AB. Biết OK = 9cm và diện tích hình tròn tâm K bằng 16% diện tích mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu.

 

Bài giải:

 

Xét tam giác AOB cân tại O có KA = KB nên OK AB.

Gọi R là bán kính hình cầu.

 r là bán kính hình tròn tâm K.

Xét tam giác KOA vuông tại K có:

r2=R2-OK2=R2-81

Diện tích hình tròn (K) là: S1=r2=(R2-81)

Diện tích mặt cầu là: S2=4R2

Vì S1=16% S2 nên (R2-81)=16100.4R2

Thu gọn phương trình này ta được:

36R2=8100R2=225

Do đó diện tích mặt cầu là S=4R2=900 (cm2)

 

Bài tập 2: Người ta cắt một quả địa cầu cũ bằng một mặt phẳng theo một vĩ tuyến và được một phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo là 24 cm và độ sâu nhất của chảo là 8 cm. Tính diện tích S của quả địa cầu.

 

Bài giải:

Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O đường kính AB.

Vẽ bán kính OC AB tại K.

Ta có: KA = KB = 24 / 2 = 12 cm

Gọi R là bán kính của quả địa cầu.Xét tam giác KOA vuông tại K có:

OA2=OK2+AK2R2=(R-8)2+122

R2=R2-16R+64+14416R=208R=13 cm

Diện tích bề mặt quả địa cầu là: S=R2=4..132=676 cm2

 

Bài tập 3: Một chiếc thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền nặng 65kg. Biết đường kính của thuyền là 1,2m và trên thuyền hiện có 2,4 tạ cá. Hỏi nước có chạm tới mép thuyền không?

 

Bài giải:

 

Bán kính của thuyền thúng là: 1,2 / 2 = 0,6 m = 6 dm.

Thể tích của thuyền là: V=12.34R2=12.34.62=144 dm2452 dm2

Tổng khối lượng của thuyền, người và cá là: 45 + 65 + 240 = 350 kg

Khối lượng riêng của thuyền là: 350452=0,8 kg/dm3

Khối lượng riêng của nước là 1 kg/dm3

Vì khối lượng riêng của thuyền nhỏ hơn khối lượng riêng của nước nên nước không ngập đến mép thuyền.

 

Bài tập 4: Một hình cầu nội tiếp một hình lập phương có cạnh 12 cm. Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là?

Bài giải:

 

Ta có độ dài cạnh của hình lập phương là 12cm

=> bán kính hình cầu nội tiếp là: 12/2 = 6cm.

Thể tích hình lập phương là: V1=122=1728 cm2

Thể tích của hình cầu là:  V2=43.62=288 cm2

Thể tích phần không gian bên ngoài hình cầu và bên trong hình lập phương là:

V=V1-V2=1728-288824 cm2

Nhận xét: ta có V1V2=2881728=6

Tổng quát ta có thể chứng minh được rằng nếu một hình cầu nội tiếp một hình lập phương thì tỉ số thể tích của chúng là 6.

 

Trên đây là các kiến thức và công thức liên quan cần nhớ về mặt cầu. Studytienganh xin chúc các bạn có thể làm chủ được dạng bài này và đạt được nhiều kết quả cao nhé!

 

Đừng quên theo dõi studytienganh để nhận thêm được nhiều kiến thức bổ ích. Hẹn gặp lại các bạn trong các bài viết tiếp theo của studytienganh!