Tính chất của một Hình Bình Hành
Hình bình hành là một hình tứ giác được tạo thành khi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau.Vậy các bạn đã biết hết những tính chất của hình bình hành hay chưa? Nếu chưa thì hãy kéo xuống bên dưới đây để cùng chúng mình tìm hiểu những tính chất của hình bình hành nhé!
1. Tính chất của hình bình hành
Trong hình bình hành ABCD với tâm O có các tính chất sau:
( Hình ảnh hình bình hành ABCD)
- Các cạnh đối bằng nhau.
- Các góc đối bằng nhau.
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại O. Khi đó:
- AB = CD, AD = BC
- Góc A = Góc C; Góc B = Góc D
- OA = OC, OB = OD
Chứng minh:
Chứng minh các cạnh đối bằng nhau:
ta chứng minh được ∆AIB = ∆CID (c.g.c)
⇒ AB = CD.
Tương tự đối với AD = BC.
Chứng minh các góc đối bằng nhau:
ABCD hình bình hành:
⇒ AB // CD ⇒ Â1 = Ĉ2 (so le trong) và AD // BC ⇒ Â2 = Ĉ1 (so le trong)
Suy ra Â1 + Â2 = Ĉ2 + Ĉ1 hay  = Ĉ
Tương tự đối với B̂ = D̂
Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:
Dễ chứng minh ∆AIB = ∆CID (g.c.g)
⇒ BI = ID & AI = IC
2. Dấu hiệu nhận biết của hình bình hành
- Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
- Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành
- Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành
- Bài tập áp dụng tính chất hình bình hành (Có đáp án)
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ ở M và N. Chứng minh rằng:
- a) AI // CK.
- b) DM = MN = NB
Bài giải:
Hình ảnh chứng minh
- a) AI // CK.
ABCD là hình bình hành
⇒ AB = CD hay 1/2 AB = 1/2 CD hay AK = CI
Ta có:
AK = CI và AK // CI
Suy ra AKCI hình bình hành ⇒ AI // CK
- b) Chứng minh DM = MN = NB.
Ta có ∆ABM :
AK = KB và KN // AM
suy ra NB = NM (1).
Có ∆DNC có
ID = IC và IM // NC ⇒ DM = NM (2).
Từ (1)(2) ta có DM = MN = NB
Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Dựng AH ⊥ BD; CK ⊥ BD (H ∈ BD; K ∈ BD). Gọi O là trung điểm của HK.
Chứng minh: 1) AHCK là hình bình hành. 2) Ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài giải:
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1)
Ta có AH ⊥ BD; CK ⊥ BD (H ∈ BD; K ∈ BD) nên AH // CK.
Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành ta đi cần chứng minh AH = CK.
Xét ∆ADH và ∆CBK ta có
+ Ĥ = K̂ = 90°.
+ AD = BC (Vì ABCD là hình bình hành)
+ D̂1 = B̂1 (Vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra ∆ADH = ∆CBK (Cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = CK.
Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên là hình bình hành.
Vậy AHCK là hình bình hành
2)
AHCK là hình bình hành nên HK và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của HK (giả thiết).
Suy ra O cũng là trung điểm của AC hay A, O, C thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Trên đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho DE = BF. Chứng minh AF // CE
Chứng mình 2 đường thẩng song song
Ta có AD = BC và DE = BF nên AE = CF
Xét ∆ABF và ∆CDE ta có :
+ B̂ = D̂ (Vì ABCD là hình bình hành)
+ AB = CD (Vì ABCD là hình bình hành)
+ BFF = CE (giả thiết)
Suy ra ∆ABF = ∆CDE (Cạnh – góc – cạnh)
⇒ CE = AF.
Tứ giác AECF có CE = AF và AE = CF nên AECF là hình bình hành.
⇒ AF // CE.
Vậy AF // CE.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đoạn thẳng AB, CD lần lượt lấy các trung điểm M,
- Các đoạn thẳng AN, CM theo thứ tự cắt BD tại E và F. Chứng minh:
1) AE // CF 2) DE = FE = FB 3) MN, AC, BD đồng quy.
Bài giải
- AE // CF
Ta có ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
Mà M, N lần lượt là các trung điểm của đoạn thẳng AB, CD nên AM = CN.
Tứ giác AMCN có AM // CN và AM = CN nên AMCN là hình bình hành.
⇒ AE // CF.
Vậy AE // CF.
2) DE = EF = FB
Ta có AMCN là hình bình hành nên MF // AE.
Mà AM = MB nên suy ra FE = FB (1).
Chứng minh tương tự ta cũng có DE = FE (2).
Từ (1)(2) suy ra DE = FE = FB.
Vậy DE = FE = FB.
3) MN, AC, BD đồng quy.
Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Gọi O là trung điểm AC. Khi đó, AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường
Tương tự, AMCN cũng là hình bình hành nên AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
Mà O là trung điểm của AC.
Nên O cũng là trung điểm của MN.
Vậy MN, AC, BD đồng quy tại điểm O.
Trên đây là những tính chất của hình bình hành mà có thể các bạn chưa biết và những bài tập ứng dụng của những tính chất hình bình hành. Studytienganh.vn mong rằng có thể giúp các bạn có những kiến thức bổ ích cùng chúng mình nhé!
