Bất đẳng thức bunhiacopxki: công thức, cách chứng minh và bài tập áp dụng

Bất đẳng thức bunhiacopxki đóng góp vào kho tàng tri thức toán học của nhân loại một công thức có thể chứng minh và áp dụng vào trong thực tế. Đây là công thức mở rộng, thường được áp dụng vào các bài tập chuyên sâu hay nâng cao hơn. Sau đây mời bạn cùng xem bất đẳng thức bunhiacopxki, cách chứng minh và làm một số bài tập ôn luyện nhé!

 

1.Công thức 

 

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Tuy nhiên thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

 

Công thức cơ bản

 

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

 

Công thức cho 2 bộ số:

Cho hai dãy số thực: a1, a2,.......an và b1, b2…. bn. Ta có:

 

 

Có thể chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức Bunhiacopxki

 

2.Cách chứng minh

 

Chứng minh: 

Công thức cơ bản:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²

↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²

↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad - bc)² ≥ 0 => luôn đúng

Dấu " = " xảy ra khi a/c=b/d

 

Công thức cho 2 bộ số

Cho hai dãy số thực a1,a2,…an​​​​a1,a2,…an và  b1,b2,…bnb1,b2,…bn ta có:

(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a21+a22…+a2n)(b21+b22…+b2n)(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22…+an2)(b12+b22…+bn2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1b1=a2b2=…=anbna1b1=a2b2=…=anbnvới quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0

Đây là công thức do ba nhà toán học độc lập Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz phát hiện và đề xuất.

 

Chứng minh: 

Đặt A=a21+a22+...+a2n,B=b21+b22+...+b2n,C=a1b1+a2b2+...+anbnA=a12+a22+...+an2,B=b12+b22+...+bn2,C=a1b1+a2b2+...+anbn

=> Chúng ta cần phải chứng minh được A.B > C²

Nếu A = 0 thì a1=a2=…an​​​​a1=a2=…an, bất đẳng thức được chứng minh. Cũng vậy nếu B = 0. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp A và B khác 0

Với mọi x ta có:

(a1x−b1)2≥0⇒a21x2−2a1b1x+b21≥0(a1x−b1)2≥0⇒a12x2−2a1b1x+b12≥0

(a2x−b2)2≥0⇒a22x2−2a2b2x+b22≥0(a2x−b2)2≥0⇒a22x2−2a2b2x+b22≥0

.........

(anx−bn)2≥0⇒a2nx2−2anbnx+b2n≥0(anx−bn)2≥0⇒an2x2−2anbnx+bn2≥0

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên được:

(a21+a22+...+a2n)x2−2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b21+b22+...+b2n)≥0(a12+a22+...+an2)x2−2(a1b1+a2b2+...+anbn)x+(b12+b22+...+bn2)≥0

tức là Ax² - 2Cx + B ≥ 0 (1)

Vì (1) đúng với mọi x nên thay x=CAx=CA  vào (1) ta được:

A.C2A2−2.C2A+B≥0⇒B−C2A≥0⇒AB−C2≥0⇒AB≥C2A.C2A2−2.C2A+B≥0⇒B−C2A≥0⇒AB−C2≥0⇒AB≥C2

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

a1x=b1,a2x=b2,...,anx=bna1x=b1,a2x=b2,...,anx=bn

tức là a1b1=a2b2=…=anbna1b1=a2b2=…=anbn với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0 => đpcm

 

Áp  dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho đa dạng bài tập và ví dụ

 

2. Bài tập áp dụng

 

Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c = 1

Chứng minh: a2+b2+c2 = ⅓

 

Bài 2: Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz+ zx =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x4+y4+z4

 

Đáp án

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho 1, 1, 1 và a b c ta có như sau:

(1+1+1) (a2+b2+c2) ≥ (1.a +1.b +1.c)2 = (a+b+c)2 =1

⇔ 3(a2+b2+c2) ≥ 1

⇔ (a2+b2+c2) ≥ ⅓

Dấu “=” xảy ra khi a =b = c = ⅓

 

Bài 2:

Ta có:

(x2+y2+z2)(x2+y2+z2) ≥  (xy +yz +zx)2 = 1

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho 1, 1, 1 và x2, y2, z2 ta có:

(1+1+1)(x4+y4+z4) ≥  (x2+y2+z2)2 ≥  1

=> (x4+y4+z4) ≥ ⅓

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = ⅓  

 

Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki thực sự là một kiến thức thú vị đối với những người yêu môn toán vì sự biến đổi đa dạng của nó. Studytienganh mong rằng bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ và hoàn thành nhiều bài tập về loại bất đẳng thức này.