Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian và bài tập minh hoạ
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian là một trong những kiến thức quan trọng của lớp 12. Vậy nó là gì và cách giải như thế nào, các em hãy cùng theo dõi nội dung dưới đây nhé.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Hình không gian
Theo SGK Toán 12, ta có các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian như sau:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian
2. Bài tập minh hoạ
Bài 1
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d'
d:x+11=y-12=z+23;d':x-13=y-52=z-42
A. Song song
B. Trùng nhau
C. Cắt nhau
D. Chéo nhau
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có ud=(1;2;3) ) và đi qua M0(-1;1;-2)
Đường thẳng d'ud'=(3;2;2) và đi qua M0'(1;5;4)
M0M0'=(2;4;6) và ud,ud'=(-2;7;-4)≠0
Ta có:
ud,udM0M0 '=-2.2+7.4-4.6=0
Vậy d và d' cắt nhau.
Chọn C.
Bài 2
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
d:x=5+t; y=at;z=2-2t' d':x=1+2t';z=a-t; z=2-2t'
A. Cắt nhau
B. Trùng nhau
C. Chéo nhau
D. Song song
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud=(1;1;-1) và đi qua M0(0;1;2)
Đường thẳng d' có vecto chỉ phương ud'=(2;2;-2)
ud,ud,=0; M0(0;1;2)∉d'
Nên hai đường thẳng d và d' song song.
Chọn D.
Bài 3
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
d:x=-t;y=3t; z=-1-2t ;d':x=0; y=9; z=5t
A. Trùng nhau
B. Cắt nhau
C. Song song
D. Chéo nhau
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud=(-1;3;-2) ) và qua M0(0;0;-1)
Đường thẳng d' có vecto chỉ phương ud'=(0;0;5) và đi qua M'(0;9;0) M0M0 '=(0;9;1) và ud,ud=(15;5;0)≠0
Ta có:
ud,udM0M0 '=15.0+9.5+1.0=45≠0
Vậy d và d' chéo nhau.
Chọn D.
Bài 4
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:
d:{x=5+t; y=at;z=2-2t' d':x=1+2t'; z=2-t
A. a=2
B. a=-3
C. a=-2
D. a=4
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d và d' có vecto chỉ phương lần lượt là ud=(1;a;-1) và ud'=(2;4;-2)
Để d//d' thì 12=a4=-1-2=>a=2
Khi đó đường thẳng d' đi qua điểm N(1;2;2) và điểm N không thuộc d.
Vậy d//d' khi và chỉ khi a=2
Chọn A.
Bài 5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d1:x-13=y1=z-12 và d2:x1=y+22=z+m1. Khi đó, giá trị của m bằng bao nhiêu thì d1 cắt d2 ?
A. m=0
B. m=1
C. m=-2
D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d1 : đi qua A(1;0;1) và nhận vecto u1(3;1;2) làm vecto chỉ phương
Đường thẳng d2 : đi qua B(0;-2;-m) và nhận vecto u2(1;2;1) làm vecto chỉ phương u1;u2=(-3;-1;5) và AB (-1;-2;-m-1)
để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau thì:
u1;u2AB=0
⇔-3⋅(-1)-1(-2)+5(-m-1)=0
⇔ 3+2-5m-5=0 ⇔ 5m=0 ⇔ m=0
Chọn A.
Bài 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d: x=1+2t ;y=-1+2t ;z=1+t Và Δ:x-11=y-1-2=z+12
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. cắt d và vuông góc với d.
B. và d chéo nhau, vuông góc với d.
C. cắt d và không vuông góc với d.
D. và d chéo nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua A(1;-1;1) và có vecto chỉ phương ud(2;2;1).
Đường thẳng đi qua điểm B(1;1;-1) có vectơ chỉ phương là u(1;-2;2).
Ta có udu=2.1+2(-2)+1.2=0
=> Hai vectơ ud và u vuông góc với nhau. suy ra đường thẳng vuông góc với d.
Mặt khác ud;u=(6;-3;-6); AB(0;2;-2)
=>ud;uAB=6.0-3.2-6.(-2)=6
Suy ra và d chéo nhau.
Chọn B.
Bài 7
Cho hai đường thẳng
d1:x=2+t; y=-t; z=-1+2t ; d2:x1=y-m2=z+11
Tìm m để hai đường thẳng đã cho chéo nhau?
A. m≠-1
B. m≠-10
C. m≠10
D. m≠12
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d1 đi qua A(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương u1(1;-1;2)
Đường thẳng d2 đi qua B(0;m;-1) và có vectơ chỉ phương u2(1;2;1)
=>u1;u2=(-5;1;3);AB(-2;m;0)
=>u1;u2AB=(-5)⋅(-2)+1⋅m+3⋅0=10+m
Để hai đường thẳng đã cho chéo nhau khi và chỉ khi: u1;u2AB≠0⇔10+m≠0 hay m≠
-10
Chọn B.
Như vậy, qua đây chúng ta đã được tiếp cận với kiến thức tổng quát về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian và một số bài tập minh hoạ. Rất mong các em có thể tiếp thu được các kiến thức này thật tốt và có sự chuẩn bị kĩ càng cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới nhé.
