Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

"Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Bài viết dưới đây sẽ đưa ra một số bài tập về dạng toán này và tổng kết kiến thức cơ bản về viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cho bạn. Hãy cùng theo dõi nhé!"

 

Cách viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

 

Sau đây chúng tôi sẽ liệt kê các bước viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm một cách tổng quát nhất:

Bước 1: Gọi tổng quát đường thẳng có dạng y = ax+b (a khác 0)

Bước 2: Với từng điểm cho trước thì thay trực tiếp vào phương trình đường thẳng, ta được 2 phương trình.

Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm a và b

Bước 4: Viết phương trình tổng quát

Với nhiều bài toán dạng này, các bạn đều làm theo 4 bước chung ở trên, sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số dạng đặc biệt cụ thể.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc trục tọa độ

• Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Ox⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Ox:y=0

• Nếu hai điểm cùng nằm trên trục Oy⇒ phương trình đường thẳng là phương trình của trục Oy:x=0

• Nếu một điểm nằm trên Ox có tọa độ (a;0) và một điểm nằm trên Oy có tọa độ (0;b) thì phương trình đường thẳng là:

  • x/a+y/b=1    Đây là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

 

Hình ảnh minh họa

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0;2) và B(3;0). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A;B nằm trên hai trục tọa độ nên ta sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

AB: x/3+y/2 = 1 ⇔ 2x+3y−6 = 0

Dạng 2: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Bài toán: Cho hàm số bậc ba y=f(x) = ax3+bx2+cx+d có 2 điểm cực trị A(x1;y1);B(x2;y2). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó ?

Với những bài toán hàm số f(x) đã biết thì ta dễ dàng tìm ra tọa độ hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

Với những bài toán mà hàm số f(x) có hệ số chứa tham số m thì ta sẽ làm như sau để viết được phương trình đường thẳng chứa tham số m của hai điểm cực trị.

Cách giải:

• Bước 1: Tính đạo hàm y′=3ax2+2bx+c

• Bước 2: Chia hàm số y cho y′ ta được:

  • f(x)=Q(x).f′(x)+P(x) với P(x)=Ax+B là hàm số bậc nhất

• Bước 3: Vì f′(x1)=f′(x2)=0 nên:

  • {y1=f(x1)=Ax1+By2=f(x2)=Ax2+B⇒ phương trình đường thẳng là y=Ax+B

  • Từ các bước trên ta tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba y=f(x)=ax3+bx2+cx+d là :

  • 2/3(c−b2/3a)x+(d−bc/9a)

 

Hình minh họa cho ví dụ

Ví dụ:

Cho hàm số y = 2x3 + 3(m−1)x2 + 6(m–2)x–1. Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1

Cách giải:

Ta có :y′= 6x2 + 6(m−1)x + 6(m−2)

Hàm số có hai cực trị ⇔ Δ = (m−1)2 − 4(m−2) > 0

⇔ (m−3)2>0 ⇔ m≠3

Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=−4x+1 thì hệ số góc của đường thẳng đó phải bằng −4

Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

−4 = 2/3[6(m−2)−9(m−1)2/6] = 4(m−2)−(m−1)2

⇔ −(m−3)2 = −4 ⇔ [m=1 hoặc m=5]

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ, tung độ

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (a;y1) và (a;y2) có dạng: x=a

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (x1;b) và (x2;b) có dạng: y=b

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(7;2) và B(100;2). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A;B

Cách giải:

Vì hai điểm A,B có cùng tung độ nên 

⇒ phương trình đường thẳng AB:y=2

Các bài tập ví dụ minh họa

Câu 1: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

 

Hình ảnh minh họa

 

Lời giải: 

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

Vậy PT tổng quát cần tìm là:

 

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là:

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là:

 

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b

⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

Câu 2: Viết phương trình đường thẳng tham số, phương trình tổng quát đi qua 2 điểm A (1;2) và B (2;3). Vẽ đường thẳng vừa tìm được trên hệ tọa độ Oxy.

 

Lời giải:

Phương trình tham số:

Gọi phương trình tổng quát là:

y = ax + b

Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

Vậy PT tổng quát cần tìm là:

 

Như vậy với một số lý thuyết cơ bản và bài tập ví dụ về phương trình đường thẳng nêu trên mong rằng bạn có thể nắm vững được kiến thức và nhanh nhạy hơn trong học tập!