Trực tâm của tam giác: Định nghĩa, Cách tìm và bài tập ví dụ
Trong chương trình toán học ở cấp 2, cấp 3 chúng ta đã được cung cấp những kiến thức cơ bản về hình học. Trong đó trực tâm tam giác là một kiến thức thường được sử dụng trong các dạng bài tập hình học 2 chiều. Bài viết hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu lại về định nghĩa cũng như các tìm trực tập tam giác.
1. Trực Tâm tam giác là gì?
|
Trong một tam giác bất kỳ luôn có 3 đường cao. Ba đường cao đó sẽ cùng giao nhau tại một điểm duy nhất - điểm đó được gọi là trực tâm tam giác. |
Tính chất và cách tìm trực tâm tam giác
1.1. Tính chất trực tâm tam giác
-
Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
-
-
Đường cao trong tam giác cân, tam giác đều cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác đó.
-
-
Trong tam giác đều, trực tâm vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
-
-
Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
-
1.2. Cách tìm trực tâm tam giác
Theo định nghĩa thì trực tâm là giao điểm của 3 đường cao. Tuy nhiên để xác định trực tâm của một tam giác chúng ta chỉ cần sử dụng tối đa 2 đường cao. Từ 2 đỉnh bất kỳ của tam giác, ta kẻ 2 đường cao tương ứng, 2 đường đó sẽ cùng cắt nhau tại một điểm - đó chính là trực tâm cần tìm. Đường cao còn lại không nhất thiết phải kẻ bởi vì nó cũng sẽ đi qua giao điểm của hai đường trên.
a. Tìm trực tâm tam giác tù
trực tâm tam giác
Để xác định trực tâm của tam giác tù, ta phải kéo dài 2 cạnh góc nhọn NP và MN ra ngoài miền tam giác MNP. Kẻ đường MQ sao cho vuông góc với đường NP kéo dài. Kẻ đường PQ sao cho PQ vuông góc với đường MN kéo dài. Khi đó ta thấy MQ, PQ và NQ là 3 đường cao của tam giác tù MNP với Q là giao điểm. Suy ra Q là trực tâm cần tìm nằm ngoài miền tam giác.
b. Tìm trực tâm tam giác vuông
trực tâm tam giác
Trực tâm của tam giác vuông chính là đỉnh của hai cạnh góc vuông. Đối với tam giác vuông, thực chất hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác. Do đó đỉnh của hai cạnh góc vuông cũng chính là trực giao cần tìm.
c. Tìm trực tâm tam giác nhọn
trực tâm tam giác
Đây là trường hợp phổ biến, hay gặp nhất trong bài toán tìm trực tâm tam giác. Từ hai điểm bất kỳ của tam giác, ta kẻ hai đường cao tương ứng. Dễ dàng tìm ra giao điểm của 2 đường cao, ta xác định được trực tâm cần tìm.
2. Những tính chất cơ bản của trực tâm tam giác
-
Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm.
-
-
Đường cao trong tam giác cân, tam giác đều cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực của đỉnh tam giác đó.
-
-
Trong tam giác đều, trực tâm vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
-
-
Theo định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
3. Bài tập ví dụ về trực tâm tam giác
Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến, BK là đường cao. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài tập trực tâm tam giác
Bài làm
Vì tam giác ABC cân tại A nên AM vừa là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC. Ta chứng minh được CH là đường cao của tam giác .
Qua bài viết trên chúng ta đã cùng điểm lại kiến thức cơ bản về định nghĩa và cách tìm trực tâm tam giác. Đồng thời ứng dụng các tính chất của trực tâm tam giác để giải quyết bài toán hình học. Hy vọng rằng bài viết trên sẽ hữu ích đối với bạn.
