Hình chóp tứ giác đều: Định nghĩa và công thức liên quan

Hình chóp tứ giác đều có định nghĩa thế nào? Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều là gì? Hãy cùng studytienganh giải đáp những thắc mắc đấy ngay sau đây nhé!

 

1. Hình chóp tứ giác đều là gì?

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông, có mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh (đỉnh này đi qua giao điểm hai đường chéo của hình vuông đáy).

 

Một hình chóp tứ giác đều có 5 tính chất là:

• Mặt đáy là hình vuông

• Các cạnh bên bằng nhau

• Các mặt bên là các tam giác cân và chúng bằng nhau

• Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm mặt đáy

• Góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy là bằng nhau

 

2. Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều

 

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều được tính bằng công thức nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn:

Sxq = p.d

(với p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn của hình chóp)

 

- Diện tích toàn phần của hình chóp sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy, ta có công thức:

Stp = Sxq + S

(với S là diện tích đáy)

 

Hình chóp tứ giác đều

 

Thể tích hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:

VS.ABCD=13SABCD.SH

Trong đó:

• SABCD là diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều ABCD
• SH là chiều cao của hình chóp.

 

3. Một số bài tập về hình chóp tứ giác đều có lời giải

 

Bài tập 1:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a và 30 độ.

 

Giải:

 

Đặt O là tâm của hình vuông ABCD.

SO(ABCD) ; SABCD=a2.

Dựng OECD , lại có CDSOCD(SEO)

Khi đó ta có: ((SCD),(ABCD))=SEO=30

Mặt khác OE=BC2 (đường trung bình trong tam giác)

nên OE=a2SO=OE.tan30=a.tan302=a23.

Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=a363=a3318

 

Bài tập 2:

Cho hình chóp tứ giác đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho: SA1SA=23;SB1SB=12;SC1SC=13 . Các mặt phẳng lần lượt qua  A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng: SD1SD=25.

 

Giải:

 

Ta có: VS.ABC=VS.DBC+VS.ADC=VS.ABD=V2

VS.A1B1C1VS.ABC=SA1SA.SB1SB.SC1SC=19  (1)

 

VS.A1D1C1VS.ADC=SA1SA.SD1SD.SC1SC=29.SD1SD  (2)

 

Cộng vế (1) với vế (2) ta được:

VS.A1B1C1D112V=19+29.SD1SD  (3)

Tương tự: VS.A1D1B1VS.ADB=SA1SA.SD1SD.SB1SB=13.SD1SD (4)

VS.B1D1C1VS.BDC=SB1SB.SD1SD.SC1SC=16.SD1SD (5)

Cộng vế (4) với vế (5) ta được: VS.A1B1C1D112V=12.SD1SD  (6)

Từ (3) và (6) ta có: 12.SD1SD=19+29.SD1SDSD1SD=25.

 

Bài tập 3:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và // BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.

a) Thể tích của khối chóp S.ABCD?

b) Thể tích của khối chóp S.AEMF là?

 

Giải:

 

a, VS.ABCD=13SABCD.SO với SABCD=a2

SOA có: SO=SA.tan60=a62

VS.ABCD=a366

 

b, Ta có:

VS.AEMF=VS.AMF+VS.AME=2VS.AMF

VS.ABCD=2VS.ACD=2VS.ABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD SMSC=12

SAC có trọng tâm I, EF // BD nên SISO=SFSD=23VS.AMFVS.ACD=SMSC.SFSD=13

VS.AMF=13VS.AMF=16VS.ACD=a3636

VS.AEMF=2a3636=a3618

 

Bài tập 4: 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) là d(AB,(SCD))=?

 

Giải:

 

- Lấy 2 điểm I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD.

- Lấy O là tâm của hình vuông ABCD.

+) Ta thấy S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.

Mặt khác: AB = SA = 2a. 

Vậy nên độ dài tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng 2a.

SO(ABCD)

IM // AD, IMCD

Ta có: IMCD ; SOCD CD(SIM)

   

+) Vẽ IH ⊥ SM tại H (H ∈ SM)

=>  IH ⊥ (SCD).

d(AB,(SCD))=d(I,(SCD))=IH

SSIM=12IH.SM=12SO.IMIH.SM=SO.IM

IH=SO.IMSM

SCD đều cạnh 2a SM=2a32=a3

và: OM=12IM=aSO=SM2-OM2=a2

Vậy d(AB,(SCD))=SO.IMSM=a2.2aa3=2a63

 

Trên đây là các công thức và bài tập trực quan về hình chóp tứ giác đều. Nhớ theo dõi studytienganh để biết thêm nhiều kiến thức bổ ích các bạn nhé!