Đường trung tuyến: Định nghĩa, tính chất và công thức tính
Trong toán học, bạn đã tìm hiểu rõ về đường trung tuyến là gì hay chưa? Vậy trong bài viết này, hãy cùng Studytienganh.vn tìm hiểu về đường trung tuyến là gì? tính chất và cách tính của nó nữa nhé!
1. Đường trung tuyến là gì
|
Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. |
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.
( Hình ảnh về đường trung tuyến trong tam giác)
Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.
2. Tính chất của đường trung tuyến
- Đồng quy tại 1 điểm
Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm, được gọi là trọng tâm của tam giác.
( Hình ảnh 3 đường trung tuyến BF,DC;AE giao nhau tại tâm O)
- Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
- Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau
Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
3 đường trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau
( Hình ảnh tính chất đường trung tuyến chia thành các tam giác bằng nhau)
3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông ABC có AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC:
=> AD = 1/2BC = DB = DC
Ngược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông:
- Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
- Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
- Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:
Với ma là trung tuyến ứng với cạnh a trong tam giác
mb là trung tuyến ứng với cạnh b trong tam giác
mc là trung tuyến ứng với cạnh c trong tam giác
Trong đó:
a, b, c: là các cạnh của tam giác.
ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.
5. Một số bài tập tính độ dài đường trung tuyến
- Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tam giác ABC cân. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:
A. 11cm
B. 3cm
C. 6,5cm
D. 8cm
Đáp án D
Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:
A. 4,5cm
B. 3.5cm
C. 6cm
D. 5cm
Đáp án: C
Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = CN thì ΔABC là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Đáp án :A
- Bài tập tự luận
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:
Bài 2: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.
bài Giải:
Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.
Đặt BE = mb, CD = mc
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến BM= 13, Độ dài AC là:
Bài giải:
BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Trên đây là những kiến thức về đường trung tuyến là gì trong tam giác, tính chất và cách tính của nó. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của Studytienganh.vn nhé!
