Công thức tính diện tích xung quanh hình nón, diện tích toàn phần, thể tích hình nón

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là gì? Các bài tập mẫu về chuyên đề hình nón. Hãy cùng studytienganh tìm hiểu ngay dưới đây nhé!

 

1. Các công thức liên quan đến hình nón

Công thức tính diện tích xung quanh

Hình nón

 

Diện tích xung quanh hình nón bằng tích của nhân với bán kính đáy và  đường sinh của hình nón:

 

 

Trong đó:

• Sxq là diện tích xung quanh.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• l là đường sinh của hình nón.

 

Công thức tính diện tích toàn phần

Diện tích toàn phần hình nón được tính theo công thức bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích mặt đáy hình nón:

 

 

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

 

Trong đó:

• Stp là diện tích toàn phần.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• l là đường sinh.

 

Công thức tính thể tích hình nón

Thể tích khối nón được tính theo công thức bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của hình nón:

 

 

Thể tích hình nón

 

Trong đó:

• V là thể tích hình nón.

• π là hằng số Pi = 3,14.

• r là bán kính vòng tròn đáy.

• h là đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy của hình nón.

 

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:

Cho tam giác vuông OIM vuông tại I. Quay tam giác OIM quanh cạnh OI  tạo thành một hình nón tròn xoay. Góc MOI=30 và cạnh MI = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay được tạo bởi hình nón tròn xoay nêu trên.

Bài giải:

Ta có r = IM = a.

l=OM=IMsinIOM=2a, h=OI=OM2-IM2=a3.

Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq=rl=a.2a=2a2.

Thể tích của khối nón là: V=13r2h=13a2a3=a333.

 

Ví dụ 2:

Cho hình nón đỉnh O có chiều cao OI = 20 cm. Bán kính đáy r = 25 cm. Mặt phẳng đi qua đỉnh giao với hai đường sinh của hình nón tại A và B. Biết khoảng cách từ tâm I của đáy đến mặt phẳng là 12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.

 

Bài giải:

Theo đề bài ta có cắt hình nón theo thiết diện là tam giác cân OAB với A, B lần lượt là hai điểm nằm trên đường tròn đáy.

Gọi H là trung điểm AB khi đó IHAB

Mà IOAB suy ra (IOH)AB (1)

Kẻ IKOH, K nằm trên OH.

Từ (1) suy ra  IK(OAB).

Theo giả thiết IK = 12 cm.

Tam giác OIH vuông tại I nên 1IK2=1IH2=1IO2IH=OI.IKOI2-IK2=20.12202-122=15 cm.

OH=OI2+IH2=202+152=25 cm.

AH=IA2-IH2=252-152=20 cmAB=40 cm.

Diện tích thiết diện S=12OH.AB=12.25.40=500 cm2.

 

Ví dụ 3: 

Cho hình nón đỉnh O có bán kính đáy là a3, góc ở đỉnh là 120 độ. Tính diện tích toàn phần và thể tích của khối nón đó.

 

Bài giải:

Ta có r=IA=3, IOA=60 nên

l=OA=IAsin60=a332=2a, h=OI=OA2-IA2=4a2-3a2=a

Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq=rl=a3.2a=2a23.

Diện tích đáy của hình nón Sđáy=r2=3a2.

Diện tích toàn phần của hình nón là: Stp =Sxq+Sđáy=2a23+3a2=(23+3)a2.

Thể tích của khối nón là V=13r2h=133a2a=a3.

 

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình nón đỉnh S, thiết diện đi qua trục là tam giác vuông cân SAB có cạnh huyền bằng a2. Tính diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón đó theo a.

Đáp án: Stp=a2(1+2)2; V=a3212.

 

Bài 2: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón đó theo a.

Đáp án: Sxq=a2; V=a3612.

 

Bài 3: Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, và diện tích thiết diện qua trục đó bằng 2a2. Diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón bằng bao nhiêu theo a.

Đáp án: Sxq=2a22; V=a3223.

 

Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', cạnh đáy bằng a, chiều cao gấp đôi cạnh đáy. Với O’ là tâm của A’B’C’D’. C là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Đáp án: Sxq=3a22.

 

Bài 5: Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy hình nón đỉnh O và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho như hình vẽ. Chiều cao x của khối nón này bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất, ( 0

Đáp án: x=h3.

 

Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón rất đơn giản nhưng lại dễ gây nhầm lẫn. Để khắc phục những sai lầm khi tính toán các bạn nên luyện thật nhiều bài tập một cách thường xuyên nhé. 

Hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo của studytienganh!