Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ngoại tiếp hình lập phương

Bạn có biết công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ngoại tiếp hình lập phương là gì chưa?  Những công thức này và một số bài tập liên quan là một trong những câu hỏi hay dạng bài phổ biến trong kỳ thi Trung Học Phổ Thông Quốc Gia. Chính vì vậy trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, ngoại tiếp hình lập phương và một số bài tập ví dụ minh họa để các bạn có thể hiểu rõ hơn nhé.

 

1. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có thể chia thành các dạng như sau:

 

Công thức 1: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

 

 

• Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy và h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

 

Công thức 2: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

 

 

Công thức 3: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

 

• Trong đó Rd là bán kính ngoại tiếp đáy và h là độ dài cạnh bên.

 

Công thức 4: Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng 

 

 

2. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Để tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương thì đầu tiên chúng ta xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC’ (tâm đối xứng của hình lập phương).

 

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng 1/2 độ dài đường chéo của hình lập phương.

 

          

 

Bài tập ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

 

Bài giải:

 

 

 

Bài tập ví dụ 2: Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.

 

 

 

 

Bài giải:

 

 

3. Bài tập minh hoạ

Ví dụ minh họa 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

 

 

(Trích Câu 16 – mã đề 122 đề thi THPT Quốc gia 2017)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ví dụ minh họa 3: Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

 

 

(Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124)

 

 

 

Ví dụ minh họa 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

 

 

Ví dụ minh họa 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.

                                   

Hướng dẫn giải: 

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra SO⊥(ABCD).

 

Xét tam giác SAO vuông tại O ta có:

 

 

 

Qua bài viết trên đây chắc hẳn các bạn đã có thể nắm rõ được công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lập phương. Mình hy vọng những chia sẻ của mình sẽ thực sự hữu ích đối với việc học tập của các bạn, cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết này và hẹn các bạn ở các bài viết tiếp theo của mình nhé.