Định lý pytago, những điều cần lưu ý và một số bài tập áp dụng

Bạn đã biết định lý Pytago là gì chưa? Trong bài viết hôm nay mình sẽ chia sẻ với các bạn về định lý Pytago và một số bài tập áp dụng định lý pytago nhé

 

1. Định lý pytago là gì?

Định lý Pytago (hay còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý pitago thuận phát biểu rằng trong 1 tam giác vuông bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. 

 

2. Cách chứng minh định lý Pytago và một số lưu ý

Ta có thể chứng minh định lý Pytago đơn giản qua hình dưới đây:

 

 

 

chứng minh định lý Pytago

 

Ở hình trên ta có 2 hình vuông lớn có diện tích bằng nhau là: (a+b)^2

 

Trong mỗi hình lại có 4 tam giác vuông bằng nhau có diện bằng nhau là 1/2(a.b). Do đó diện tích khoảng trắng của 2 hình sẽ bằng nhau.

 

Như vậy, diện tích của hình vuông c sẽ bằng tổng diện tích của 2 hình vuông a và b nên ta có: (c^2=a^2+b^2)

 

Cách chứng minh định lý pytago đảo

 

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với (a^2+b^2=c^2). Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c=√(a²+b²) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

 

chứng minh định lý pytago đảo

 

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

 

• Nếu (a^2 + b^2 = c^2), thì tam giác là tam giác vuông.

•  

• Nếu (a^2 + b^2 > c^2), nó là tam giác nhọn.

•  

• Nếu (a^2 + b^2 < c^2), thì nó là tam giác tù.

•  

Những điều cần lưu ý khi học định lý Pitago

 

• Cạnh huyền của tam giác vuông luôn cắt ngang qua góc vuông mà không đi qua góc vuông, đây là cạnh dài nhất của tam giác vuông, cạnh huyền được gọi là C trong định lý Pitago

•  

• Nhìn vào hình, bạn sẽ biết đâu là cạnh huyền vì đó là cạnh dài nhất đối diện góc lớn nhất. Còn cạnh ngắn nhất sẽ đối diện góc nhỏ nhất của tam giác. Ta chỉ tính được cạnh thứ 3 khi biết độ dài 2 cạnh còn lại trong tam giác vuông

•  

• Nếu tam giác không phải là tam giác vuông, ta không thể áp dụng định lý pitago mà sẽ tính được khi biết thêm thông tin ngoài chiều dài 2 cạnh.

•  

• Bạn nên vẽ tam giác để dễ dàng gán giá trị chính xác cho các cạnh a, b và c. Đặc biệt, các bài toán từ và toán logic áp dụng nhiều hơn cả.

•  

• Nếu chỉ biết số đo một cạnh, ta không thể dùng định lý pitago để tính mà sẽ phải dùng hàm lượng giác (sin, cos, tan) hoặc tỉ lệ 30-60-90 / 45-45-90.

 

 

 

 lưu ý khi học định lý Pitago

 

3. Một số bài tập áp dụng định lý Pytago

Bài tập 1:

 

Xét tam giác ABC vuông tại A:

 

Biết chiều dài cạnh AB = 4 cm, chiều dài cạnh BC = 6 cm, tính chiều dài cạnh AC

 

Biết chiều dài cạnh AC = 2 cm, chiều dài cạnh BC = 7 cm, tính chiều dài cạnh AB

 

Biết chiều dài cạnh AB = 3 cm, chiều dài cạnh AC = 5 cm, tính chiều dài cạnh BC

 

Lời giải

 

1. Ta có: BC² = AC² + AB² 

 

=> AC² = BC² – AB² 

 

=> AC² = 6² – 4² 

 

=> AC = √20

 

Vậy chiều dài của cạnh AC là √20 cm

 

2. Ta có BC² = AC² + AB² 

 

=> AB² = BC² – AC² 

 

=> AB² = 7² – 2 ²

 

=> AB = √45

 

Vậy chiều dài cạnh AB = √45 cm

 

3. Ta có: BC² = AC² + AB² 

 

=> BC² = 3² + 5²

 

=> BC = √34

 

Vậy chiều dài cạnh BC là√34

 

Bài tập 2:

 

Tính chiều dài cạnh huyền của các tam giác sau, biết:

 

a. Tam giác MNO vuông tại M có cạnh MO = 4 cm, cạnh MN = 5 cm

 

b. Tam giác PQR vuông tại P có cạnh PQ = 7 cm, cạnh PR = 6 cm

 

c. Tam giác BCD vuông tại B có cạnh BC = 8 cm, cạnh BD = 2 cm

 

d. Tam giác IKL vuông tại I có cạnh IL = 4,5 cm, cạnh IK = 8 cm

 

Lời giải:

 

a. Vì tam giác MNO vuông tại M, NO là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

 

NO2 = MN2 + MO2

 

=> NO2 = 42 + 52

 

=> NO2 = 41

 

=> NO = √41

 

=> NO = 6,4

 

Vậy chiều dài cạnh NO của tam giác MNO là 6,4 cm

 

b. Vì tam giác PQR vuông tại P, QR là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

 

QR2 = PQ2 + PR2

 

=> QR2 = 72 + 62

 

=> QR2 = 85

 

=> QR = √85

 

=> QR = 9,2

 

Vậy chiều dài cạnh QR của tam giác PQR là 9,2 cm

 

c. Vì tam giác BCD vuông tại B, CD là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

 

CD2 = BC2 + BD2

 

=> CD2 = 82 + 22

 

=> CD2 = 70

 

=> CD = √70

 

=> CD = 8,4

 

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 8,4 cm

 

c. Vì tam giác IKL vuông tại I, KL là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

 

KL2 = IL2 + IK2

 

=> KL2 = 4,52 + 82

 

=> KL2 = 84,25

 

=>KL = √84,25

 

=> KL = 9,2

 

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 9,2 cm

 

Trên đây là những chia sẻ của mình về định lý Pytago và một số bài tập ví dụ minh họa, cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của mình nhé.