Công thức tính độ dài đường trung tuyến và bài tập minh họa

Bạn đang mông lung không nhớ về công thức đường trung tuyến? Bạn lo lắng không biết công thức này sẽ được áp dụng vào các dạng Toán nào? Đừng lo, hãy theo dõi ngay bài viết dưới đây của chúng tôi để xem thêm chi tiết. Chúng tôi sẽ tổng hợp lại kiến thức về vấn đề này cho bạn đọc dễ hiểu nhất có thể. 

 

1. Công thức tính đường trung tuyến

Đường thẳng đi qua trung điểm của 1 đoạn thẳng đó gọi là đường trung tuyến của đoạn thẳng.

 

Đoạn thẳng đi từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện gọi là đường trung tuyến của tam giác. Quy định mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến.

 

Dưới đây là công thức chi tiết tính độ dài đường trung tuyến: 

 

Công thức tính độ dài đường trung tuyến được tính bằng căn bậc 2 của một phần 2 tổng bình phương hai cạnh kề. Sau đó trừ đi một phần tư bình phương cạnh đối.

 

Công thức minh họa: 
 

 

Trong đó: 

• a,b,c lần lượt là các cạnh trong một tam giác.

• ma,mb,mc lần lượt là các đường trung tuyến trong tam giác đó.

 

2. Tính chất đường trung tuyến trong 3 tam giác thường, vuông, cân

 

Đường trung tuyến trong mỗi tam giác sẽ có từng tính chất khác nhau. Dưới đây là cụ thể từng tính chất trong mỗi tam giác.

Tam giác thường:

• Trong 1 tam giác, 3 đường trung tuyến giao nhau gọi là trọng tâm. 

• Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của tam giác cách đều mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tam giác vuông:

• Đường trung tuyến của một tam giác vuông ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

• Tam giác vuông là tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó.

Tam giác cân:

• Đường trung trực là đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh vuông góc với cạnh đáy tương ứng.

• Đường phân giác là đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau. 

3. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tam giác MNP cho biết NP = 20cm, PM = 16cm, MN = 14cm. Anh/chị hãy tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác MNP. 

 

 

Bài làm

 

Gọi:

• NP, PM, MN lần lượt là a, b, c

• ma, mb, mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến từ những đỉnh M, N, P của ∆MNP

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác ở phía trên, ta có:

 

 

Do độ dài đoạn thẳng là độ dài các đường trung tuyến, vì thế ta có:

 

 

 

Bài tập 2: Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17cm, NP= 16cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: MI ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

 

Bài làm: 

 

a. Do MI là đường trung tuyến MNP 

 => IP = IN

Mặt khác tam giác MNP cân tại M

=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> MI ⊥ NP

 

b. Ta có:

NP = 16cm nên NI = PI = 8cm

MN = MP = 17cm

Xét tam giác MIP vuông tại I

Áp dụng Định lý Pitago, ta có:

MP2 = MI2 + IP2 

=> 192= MI2 + 82

=> MI2 = 172 - 82 = 225

=> MI = 15cm.

 

 

Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại điểm H. Anh/ chị hãy: 

a. So sánh 2 tam giác AHB và AHC.

b. M và N lần lượt là trung điểm của GA và GC. Hãy chứng minh rằng  AN, BE, CM đồng quy tại 1 điểm. 

 

Bài làm: 

 

a. Ta có: 

BE và CD là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC

Mà BE cắt CD tại G 

=> Trọng tâm của tam giác ABC là G

Mặt khác AH đi qua G

=>  Đường trung tuyến của tam giác ABC là AH

 

Xét 2 tam giác AHB và AHC, có: 

AB = AC 

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (cạnh - cạnh - cạnh)

 

b. Do MA = MG 

=> CM là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

Mặt khác NG = NC 

=> AN là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

GE là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

 

Từ (1), (2), (3) = > 3 đường AN, CM, BE đồng quy. 

 

 

Bài tập 4: Cho tam giác MNK có MK = MN. Gọi E là giao điểm của hai đường trung tuyến NI và KP. Hãy chứng minh:

a)Tam giác NIK và tam giác KPN bằng nhau

b) EN = EK

c) NK < 4EP

 

Bài làm:

 

a) Ta có: MK=MN

NI là đường trung tuyến của tam giác MNK

=> NI = ½ MN (1)

KP là đường trung tuyến của tam giác MNK

=> KP = ½ MK (2)

Từ (1), (2) => NI=KP

 

Xét tam giác NIK và tam giác KPN, ta có:

NK là cạnh chung

NI = KP

góc KNP = góc NKI (tam giác MNK cân tại M)

=> ΔNIK = ΔKPN (cạnh - góc - cạnh) 

 

b) Ta có:

góc INK= góc PKN (Vì ΔNIK = ΔKPN)

Nên tam giác ENK cân tại E

Suy ra EN = EK

 

c) Xét ΔMNK ta có:

IM = IK (NI là đường trung tuyến)

PM = PN (KP là đường trung tuyến)

Suy ra IP là đường trung bình của tam giác MNK

=> IP = NK/2 

 

Xét tam giác IPE có

IP < PE + EI (bất đẳng thức Cauchy)

PE = PK - EK

=> NK/2 < PK - EK + EI (3)

 ΔNIK = ΔKPN => KP = NI (4)

Tam giác ENK cân tại E => EN = EK (5)

 

Từ (3), (4), (5) => NK/2 < NI - NE + EP

 

=> NK/2 < 2EP

=> NK < 4EP

 

Trên đây là thông tin về công thức đường trung tuyến . Hy vọng với những chia sẻ trên của chúng tôi sẽ giúp cho bạn thuận tiện hơn trong quá trình làm bài.